[Linear Algebra] Linear Equation (선형 방정식)

Systems of Linear Equations and Matrices

선형 방정식과 행렬 체계에 대해 배운다

Linear Equation(선형 방정식)

선형 방정식은 2차원에서는 직선으로, 3차원에서는 평면으로 나타난다.

• b = 0인 경우 homogeneous linear equation(동차 선형 방정식)이라고 부른다.

예시

• 선형 방정식은 변수의 곱이나 루트를 포함하지 않는다. 모든 변수는 1차 형태로만 나타난다.

• 위와 같은 방정식은 선형 방정식이 아니다.

Linear System(선형 시스템, 선형 계)

유한 개의 선형 방정식으로 이루어진 집합을 system of linear equation, 줄여서 linear system이라고 한다. 변수들은 미지수(unknowns)라고 불린다.

미지수 x1, x2, … xn이 있는 m개의 방정식으로 구성된 일반적인 선형 시스템은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

위 선형 시스템의 해(solution)는 s1, s2, … sn이라는 n개의 숫자 시퀀스이다.

이렇게 치환해주면 각 방정식은 참이 된다.

선형 시스템의 해가 위와 같을 때, 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

미지수 x1, x2, … xn를 가진 선형 시스템의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

이를 순서 있는 n-튜플(ordered n-tuple)이라고 부른다. 이 표기법에서는 모든 변수가 각 방정식에서 동일한 순서로 나타나는 것으로 이해된다. 만약 n=2라면, n-튜플은 순서 있는 쌍(ordered pair)이라고 불리며, n=3이라면 순서 있는 세 쌍(ordered triple)이라고 불린다.

Linear Systems in Two Unknowns(두 미지수가 있는 선형 시스템)

두 미지수 x, y를 가지는 선형 시스템에서 해는 두 직선의 교차점에 해당하며, 3가지 해가 가능하다

1. No Solution : 교차하지 않는 평행선
2. One Solution : 교차하는 한 점
3. Infinitely many solutions : 일치하는 직선(coincident lines)

일반적으로 선형 시스템이 적어도 하나의 해를 가지면 일관성(consistency)이 있다고 하고, 해가 없으면 비일관성(inconsistency)이 있다고 한다. 따라서, 미지수가 두 개인 두 개의 방정식으로 이루어진 일관성 있는 선형 시스템은 하나의 해 또는 무한히 많은 해를 가진다. 이 외의 케이스는 없다.

Linear Systems in Three Unknowns(세 미지수가 있는 선형 시스템)

이 방정식들의 그래프는 평면으로 나타난다. 만약 해가 있다면, 시스템의 해는 세 평면이 교차하는 지점들에 해당합니다. 따라서, 세 가지의 가능성만 존재한다.

• No Solution
  • 세 평면이 모두 평행하여 교차하지 않음
  • 두 평면이 평행하고 세 번째 평면도 교차하지 않음
  • 공통 교차점이 없음
  • 두 평면이 일치하고 세 번째 평면이 평행하여 교차하지 않음
• One Solution
  • 교차점이 하나의 점임
• Infinitely many solutions
  • 교차점이 한 직선임
  • 세 평면이 모두 일치하며 교차점이 하나의 평면임
  • 두 평면이 일치하고 교차점이 한 직선임

이를 토대로 우리는 위에 봤던 해의 개수가 모든 선형 시스템에 해당한다는 것을 증명할 수 있다.

결론 | 모든 선형 방정식의 시스템은 0개, 1개 또는 무한히 많은 해를 가진다. 다른 가능성은 존재하지 않는다.

예시: One Solution

예시: No Solution

두 번째 방정식은 모순되어, 주어진 시스템은 해가 없다. 기하학적으로 이는 원래 시스템의 방정식에 해당하는 직선들이 평행하고 서로 다른 것을 의미한다.

예시: Infinitely Many Solutions

시스템의 해는 단일 방정식 4x−2y=1을 만족하는 x, y의 값들이고, 기하학적으로 이는 원래 시스템의 두 방정식에 해당하는 직선들이 일치함을 의미한다.

단일 방정식을 만족하는 x, y 해집합을 설명하기 위해 이 방정식을 x에 대해 정리하고 y에 대한 식으로 나타낸 뒤, 임의의 값 t(parameter라고 불림)를 y에 대입하여 해를 표현할 수 있다. 이를 통해 방정식 쌍(parametric equation, 매개변수 방정식)으로 해를 나타낼 수 있다.

매개변수 t에 수치 값을 대입 해 특정 수치 해를 얻을 수 있다.

예시: Infinitely Many Solutions

시스템의 해는 단일 방정식 x - y + 2z = 5을 만족하는 x, y, z의 값들이고, 기하학적으로 세 평면이 일치함을 의미한다.

이를 위해 이 방정식을 y와 z에 대한 식으로 나타낸 다음 임의의 값 r과 s (매개변수)를 두 변수에 할당한 후, 다음과 같은 세 개의 매개변수 방정식으로 해를 표현한다.

r과 s에 대한 수치 값을 선택하여 특정 해를 얻을 수 있다.

Augmented Matrices and Elementary Row Operations(첨가 행렬과 기본 행 연산)

기호를 단순화하여 아래와 같이 나타낸다.

위와 같은 행렬의 형태를 시스템의 Augmented Matrix(첨가 행렬)이라고 한다.

기본 행 연산

1. 행 전체에 0이 아닌 상수를 곱합니다.
2. 두 행을 서로 교환합니다.
3. 한 행에 일정한 배수를 다른 행에 더합니다.

⠀이것을 행렬에 대한 기본 행 연산(elementary row operations)이라고 한다.

예시
왜 이런 순서로 진행되는지는 아래에서 다룬다. 기본 행 연산을 어떻게 적용하는지에 대해서만 살펴보자.

정리